همبستگی (قسمت سوم: همبستگی رتبه‌ای اسپیرمن)

در این مقاله همبستگی رتبه‌ای اسپیرمن را با مثال بررسی می‌‌کنیم. این مقاله سومین قسمت از مقالات مربوط به همبستگی است. لطفاً قبل از مطالعه، بخش اول و دوم را مطالعه نمایید.

مثال برای همبستگی رتبه‌ای اسپیرمن (همبستگی مثبت)

در مقاله اول از همبستگی، ما وزن و قد 6 نفر را اندازه‌گیری کردیم. با هم دیدیم که ضریب همبستگی 0.898 و مقداری P-value برابر با 0.015 بدست آمد. بنابراین نتیجه گرفتیم که همبستگی مثبت و معنی‌دار بین وزن و قد وجود دارد (شکل 1).

اگر با نحوه محاسبه ضریب همبستگی پیرسون آشنا نیستید لطفا به مقاله مربوط مراجعه نمایید.

شکل 1. وزن و قد شش نفر و محاسبه ضریب همبستگی

برای محاسبه ضریب همبستگی کوواریانس در صورت کسر و انحراف معیار دو متغیر در مخرج کسر قرار داشت:

برای محاسبه ضریب همبستگی رتبه‌ای اسپیرمن هم دقیقاً از همین فرمول استفاده می‌کنیم. اما قبل از استفاده از فرمول، ابتدا دو متغیر را رتبه‌دهی می‌کنیم. به این صورت که به کمترین مقدار عدد 1 و به ترتیب رتبه‌ها را افزایش می‌دهیم (شکل 2).

شکل 2. رتبه‌دهی وزن و قد

به عنوان مثال چون اولین نفر کمترین وزن و قد را در بین افراد دارد، رتبه 1 را به وزن و قد این فرد اختصاص می‌دهیم. هر یک از متغیرها بطور مجزا رتبه‌دهی می‌شود.

الان می‌توانیم ضریب همبستگی اسپیرمن را محاسبه کنیم. تنها تفاوت ضریب همبستگی رتبه‌ای اسپیرمن این است که ما الان از رتبه‌ها به جای اعداد برای محاسبه ضریب همبستگی استفاده می‌کنیم.

برای محاسبه همبستگی، ابتدا کوواریانس رتبه‌ها را 3.3 بدست آوردیم و در صورت کسر قرار دادیم. انحراف معیار رتبه‌ها نیز برای هر دو متغیر وزن و قد برابر با 1.87 بدست آوردیم. در نهایت ضریب همبستگی اسپیرمن با استفاده از رتبه‌ها 0.94 بدست آمد.

توجه کنید زمانی که ما همبستگی مثبت داریم، انتظار داریم که رتبه‌ها برای دو متغیر مشابه باشند (شکل 3).

شکل 3. رتبه‌های مشابه در دو متغیر

مثال (همبستگی منفی)

فرض کنید اطلاعاتی در مورد قیمت و سن 5 خودروی هم مدل جمع‌آوری کرده‌ایم. اگر این اطلاعات را در قالب یک نمودار پراکنش نمایش دهیم شکل 4 حاصل می‌شود.

شکل 4. اطلاعات سن و قسمت 5 خودرو و نمودار پراکنش

زمانی که همبستگی منفی باشد، انتظار داریم که رتبه‌های بالا در یک متغیر با رتبه‌های پائین در متغیر دیگر جفت شوند (شکل 5).

شکل 5. جفت شدن رتبه‌های پائین در یک متغیر با رتبه‌های بالا در متغیر دیگر

نهایتاً ضریب همبستگی رتبه‌ای اسپیرمن را 0.8- بدست آوردیم.

مقایسه همبستگی پیرسون و اسپیرمن

• در همبستگی پیرسون متغیرها باید دارای مقیاس پیوسته و کمی باشند. در حالی‌که در همبستگی اسپیرمن متغیرها می‌توانند پیوسته با رتبه‌ای باشند.
• برای همبستگی پیرسون باید رابطه بین دو متغیر از نوع خطی باشد. اما برای همبستگی اسپیرمن رابطه می‌تواند خطی یا یکنواخت باشد. اما اگر داده‌ها رابطه درجه دوم داشته باشند هیچیک از روش‌ها برای سنجش ارتباط مناسب نیست.
• همبستگی پیرسون به داده‌های پرت بسیار حساس است. اما همبستگی اسپیرمن مقاوم به داده‌های پرت است.