آشنایی با توزیع نرمال

در این جلسه توزیع نرمال را بطور کامل و با مثال بررسی می‌کنیم. این جلسه شامل موارد زیر است:

• چگونه توزیع نرمال بوجود می‌آید؟
• چگونه از توزیع نرمال استفاده می‌کنیم؟
• توزیع نرمال استاندارد چیست؟

توزیع نرمال چگونه بوجود می آید؟

فرض کنید قد 9 نفر را اندازه‌گیری کرده‌ایم. اگر افراد را به ترتیب قد نمایش دهیم شکل 1 را خواهیم داشت.

شکل 1. مرتب کردن افراد بر مبنای قد

مطابق شکل 1، اکثر افراد قد نسبتاً نزدیک به میانگین جامعه دارند. یعنی اکثر افراد ما قد متوسط دارند. اگر دقت کنیم می‌بینیم که تعداد کمی از افراد قد خیلی کوچک یا خیلی بزرگ دارند. اگر این افراد را بر مبنای قد به 5 گروه تقسیم کنیم شکل 2 را خواهیم داشت.

شکل 2. گروه بندی افراد به 5 گروه بر مبنای قد

حالا بر مبنای تعداد افراد قرار گرفته در هر گروه می‌توانیم هیستوگرامی مانند شکل 3 رسم کنیم.

شکل 3. رسم هیستوگرام قد افراد

به عنوان مثال، مستطیل اول در سمت چپ هیستوگرام نشان می‌دهد که یک نفر وجود دارد که قدی بین 150 تا 160 دارد. ارتفاع میله‌ها بر مبنای فراوانی افراد در هر گروه تنظیم می‌شود.

اگر فواصل را خیلی کوچک در نظر بگیریم و افراد انتخاب شده را بیشتر کنیم، توزیع ما به شکل یک منحنی زنگوله‌ای در می‌آید (شکل 4). حالت زنگوله‌ای یکی از خصوصیات مهم توزیع نرمال است.

شکل 4. منحنی زنگوله ای

پارامترهای توزیع نرمال

توزیع نرمال دارای دو پارامتر میانگین و انحراف استاندارد است. میانگین را با مو (μ) و انحراف استاندارد را با سیگما (σ) نشان می‌دهیم (شکل 5).

شکل 5. هیستوگرام برای نمایش توزیع قد 9 فرد

میانگین

مقدار مو (μ)،‌ مکان منحنی را روی محور افقی نشان می‌دهد. به عنوان مثال اگر میانگین توزیع را از 175 به 190 افزایش دهیم مرکز منحنی هم 190 خواهد شد (شکل 6). بالعکس، اگر میانگین را کاهش دهیم، مکان منحنی هم به سمت چپ انتقال می‌یابد.

شکل 6. تغییر مکان منحنی به سمت راست

انحراف استاندارد

پارامتر سیکما (σ) عرض منحنی را نشان می‌دهد (شکل 7).

شکل 7. نمایش انحراف معیار روی منحنی نرمال

مثلا اگر انحراف استاندارد را از 10 به 20 افزایش دهیم، می‌بینیم که عرض منحنی افزایش و ارتفاع آن کاهش می‌یابد (شکل 8).

شکل 8. افزایش عرض منحنی  با افزایش انحراف استاندارد

خصوصیات توزیع نرمال

سطح زیر منحنی درصد افراد جمعیت را نشان می‌دهد که بطور کلی برابر با 1 است.

شکل 9. سطح زیر منحنی

در نمودار توزیع نرمال، محور Y، فراوانی نسبی یا چگالی را نشان می‌دهد.

در این مثال ما انتظار داریم که حدود دو درصد از افراد جمعیت قدی بین 163 تا 164 داشته باشند. چرا که عرض منحنی در این ناحیه 1 و ارتفاع منحنی دو درصد است (شکل 10).

شکل 10. جدا کردن قسمتی از منحنی نرمال

دقت کنید سطح زیر منحنی ناحیه پیوسته‌ای را تشکیل می‌دهد. پس همیشه یک ناحیه را برای بیان نسبت افراد جمعیت استفاده می کنیم. اگر خیلی با دقت عمل کنیم، هیچیک از افراد ما دقیقاً برابر 160 سانتیمتر قد ندارند.

نحوه تفسیر سطح زیر منحنی نرمال

سطح زیر منحنی توزیع نرمال مانند شکل 11 نشان می‌دهیم:

شکل 11. احتمال مقادیر X بین 180 تا 190

در این عبارت P مخفف (Probability) یا احتمال است . این سطح احتمال اینکه یک فرد در جمعیت قدی بین 180 تا 190 سانتیمتر داشته باشد را نشان می‌دهد.

مثلاً احتمال اینکه یک فرد در جمعیت قدی کوچکتر از 190 سانتیمتر داشته باشد را مانند شکل 12 نشان می‌دهیم و محاسبه می‌‌کنیم.

شکل 12. احتمال مقادیر X کمتر از 190 سانتیمتر

مطابق شکل 12، این احتمال 0.93 بدست آمده است.

سطوح مهم توزیع نرمال

در جلسات قبل انحراف معیار را دقیق محاسبه و تفسیر کردیم. گفتیم که ناحیه‌ای به اندازه یک انحراف معیار مثبت و منفی از میانگین، ناحیه‌ای است که حدوداً 68 درصد از افراد در این ناحیه قرار می‌گیرند. در این مثال مقدار انحراف معیار 10 و میانگین 175 است. پس به اندازه 10 واحد مثبت و منفی نسبت به میانگین را روی نمودار جدا می‌کنیم. ناحیه هاشور زده شده حدوداً 68 درصد از مقادیر را در بر می‌گیرد (شکل 13).

شکل 13. ناحیه شامل 68 درصد از داده‌ها

تابع توزیع نرمال

تابع توزیع نرمال در شکل 14 آورده شده است. بر مبنای این تایع، به ازای هر مقدار X می‌توان فراوانی نسبی را محاسبه نمود. در فرمول، سیکما نمایانگر انحراف معیار و مو نشان دهنده میانگین است.

ht=”253″ />

شکل 14. تایع توزیع نرمال

مثلاً اگر بخواهیم مقدار تابع را زمانی که مقدار X برابر با 185 است محاسبه کنیم . مطابق با ارتفاع نمودار، این مقدار حدوداً برابر با 0.024 است. البته می‌توان با جایگذاری مقادیر در تابع، مقدار F(x) را محاسبه نمود (شکل 15).

شکل 15. محاسبه فراوانی نسبی بر مبنای تابع توزیع نرمال

این مقدار (0.024) را به این صورت می‌توانیم تفسیر کنیم که حدود 2.4 درصد شانس وجود دارد که یک شخص قدی بین 184.5 تا 185.5 داشته باشد. دقت کنید که توزیع نرمال پیوسته است و این ناحیه یک واحد در اطراف عدد 185 است.

توزیع نرمال استاندارد

توزیع نرمال استاندارد میانگین صفر و انحراف استاندارد 1 دارد. این توزیع برای استخراج مقادیر بحرانی در انواع آزمون‌های آماری کاربرد دارد.

height=”310″ />

شکل 16. توزیع نرمال استاندارد

به عنوان مثال، می‌دانیم که حدوداً 68 درصد از افراد جمعیت در محدوده یک انحراف استاندارد از میانگین قرار می‌گیرند. این موضوع در شکل 17 قابل مشاهده است.

شکل 17. محدوده 68 درصد داده‌ها

همچنین حدوداً 95 درصد از افراد جمعیت در محدوده 1.96 انحراف استاندارد از میانگین قرار می‌گیرند شکل 18).

شکل 18. محدوده 95 درصد داده‌ها

در آمار تمایل داریم که به یک موضوع 95 درصد اطمینان داشته باشیم. در آزمون های آماری مختلف ما از دو عدد 1.96 و 0.05 به وفور استفاده می‌کنیم.